### Neste steg - [x] Finn ut av hva du skal gjøre med at entanglement basically ødelegger hele idéen. Switche til EPR-pair-basis istedet? (Se $\Phi$-tilstandene på [teleporteringwikisiden](https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_teleportation#Formal_presentation).) - [x] 🖌️ Skriv blogposten [[TiqTaqToe with basis change (v1)]] - [x] 🖌️ Playtest! Dersom man har TiqTaqToe med binære faser, så kan man få tilstander som $\sqrt{\frac{2}{4}}\upket + \sqrt{\frac{2}{4}}\downket \coloneqq \plusket$ og $\sqrt{\frac{2}{4}}\upket - \sqrt{\frac{2}{4}}\downket \coloneqq \minusket$. Da er det plutselig naturlig å la én av spillerne *velge hvilken base de vil måle i*. Som vanlig vil det da være tilstander som $\sqrt{\frac{4}{4}} \upket$ som plutselig blir tolket som $\sqrt{\frac{2}{4}}\plusket + \sqrt{\frac{2}{4}}\minusket$, og vil måtte trilles for. #### Ang. sammenfiltring Innså akkurat at den sammenfiltrede tilstanden vi får *ikke* er (e.g.) $\plusket_1 \minusket_2$ men $\frac{1}{\sqrt{2}} (\upket_1 \downket_2 - \downket_1 \upket_2)$. Denne tilstanden er en eigenstate til operatoren $X_{12}$ (med eigenvalue $-1$), som betyr at ja, den måles som XO med 100% sannsynlighet som forventet, men som også betyr at målingen *ikke ødelegger sammenfiltringen*. Med mindre, så klart, vi sier at partiklene er "klassiske" etter måling, men da kan de heller ikke bli påvirket av baseskifter. Det *kan* hende at det vi skal gjøre er følgende: 1. Tic-tac-toe 2. TiqTaqToe with superpositions 3. TiqTaqToe with entanglement 4. TiqTaqToe with cancelling 5. TiqTaqToe with basis change (*og* cancelling, altså det jeg tidligere refererte til som Fully Quantum) 6. Fully Quantum TiqTaqToe, hvor alle trekk er lov *og* partiklene forblir kvantepartikler etter måling, og man *kan* fortsette å påvirke alle rutene (gitt at det ikke bryter med andre regler)! Dette vil definitivt gjøre det mindre "flip the tables" å skifte baser, som kanskje er en god ting, samt bringe det hele litt nærmere den virkelige kvantefysikken. *Men* da må vi være i stand til å vise at to firere også forblir sammenfiltrede! (Forslag: La den andre terningen forbli i ruten med det udefinerte tallet "3" opp. På egentrykkede terninger kunne dette vært tallet "0"! Merk også at man bare trenger én "0" per farge, siden vi følger regelen at vi finner ut hvilke ruter som er tomme først.) **Rettelse:** Hvis man skriver om tilstanden over får man $\frac{1}{\sqrt{2}} (\minusket_1 \plusket_2 - \plusket_1 \minusket_2)$, som viser at også i Hadamardbasen får man 50/50 XO eller OX. *Faen ta!* (Men burde visst det: Sammenfiltring er en ressurs og må dermed være base-uavhengig.) Enkleste løsningen er å postulere at når man splitter med blå tall, så ender sannsynlighetene opp med å være uavhengige, dvs. at de to rutene nå er beskrevet av en produkttilstand av to elektroner i superposisjoner av spinn-opp og spinn-ned. For å illustrere dette tydeligere anbefaler jeg å kreve at én av motstanderens terninger også må være blå når man bruker dette trekket. Da mister man den tydelige tolkningen av "blå = minus egen brikke", men det gjør det lettere å forklare reglene. Å gi spilleren muligheten til et "spin-superposisjon"-trekk av dette slaget er interessant også i computational basis, siden det der har samme forventningsverdi per spiller i form av antall brikker på brettet, men har høyere risk/reward assosiert ved seg. Kombinert med at det har *lavere* risiko assosiert i den ortogonale basen gjør det til et ganske taktisk interessant trekk ... dog muligens ett som blir desto mer utfordrende å forklare for nye spillere, når man har brukt så mye tid på å imprente at "én farge = én brikke" (selv om dette tildels allerede var gått bort ifra i kanselleringsregelen). *Hvis* jeg ønsker å introdusere dette trekket i en egen versjon av spillet *før* baseskifter, vurder å gjøre det til den første utvidelsen, etterfulgt av kanselleringer, og til slutt baseskifter. Typ: ``` Fully Quantum TiqTaqToe | With basis changes | With phase cancellations | With spin superpositions | With entanglement | With space superpositions | Tic-tac-toe ``` (Hvor Fully Quantum igjen er uten klassiske brikker, gitt at jeg klarer å finne en god måte å illustrere sammenfiltrede comp. basis states på.) #### Vri brettet Idé: Hva hvis å skifte base involverer å fysisk rotere brettet 90°? ![[image 54.jpg|300]] ![[image 56.jpg|300]] Nei: Da blir $\zeroket$ mappet til $\plusket$ osv. Skulla hatt en "flipping" av hele brettet om diagonalen ... men brettet må være ganske fancy for at det skal la seg gjøre. Etter å ha grublet litt har jeg kommet frem til at det beste enda er å si at man bare tolker pilene i henhold til basisen man måler i, uten å flytte eller vri på noe som helst. Kan ha X/O i forskjellige farger eller noe sånt på topp/bunn og høyre/venstre. #### Hvodan introdusere piler Mulig da å introdusere piler allerede ved introduksjonen av sammenfiltring? Som forberedelse til fremtidige regelsett: 1. Bestem hvor elektronene er 2. Bestem hvilken vei pilene peker 3. Trill for de som ikke er opp/ned (og pass på sammenfiltring!) Introduser *vanlig* trilling først i så fall—intuisjonen om "den er ikke der så da må den være der" er mye tydeligere representert med terningene på brettet i originalkomfogurasjon. Og *så* kan du knytte det til Bloch-sphere og piler, når du *etter* å ha forklart reglene knytter det til elektroner i spinn-opp/ned-tilstander, og la spilleren selv velge hvordan de vil spille. In conclusion: For d6-implementasjonen må vi ha pilene for "measured"; opp-ned for O-terninger (som målt av tall i hjørnet på terningen) pluss gjerne adskilt i farge, på samme måte som brikkene jeg tusjet rundt. Alternativt for 5xd4-implementasjonen må vi ha pil-brikker (éne siden med annen farge/svart omriss). ### Neste steg - [x] Finn et konsistent regelsett med baseskifter. Hva skjer med halvt sammenfiltrede tilstander? ### Hvem bestemmer målingen? Siste spiller til å legge en brikke før målingen velger hvilken basis å måle i. Hvorfor *siste* spiller, og ikke f.eks. nest siste spiller? Ved første øyekast ser det ut som at å la nest siste spiller bestemme målingen ville hjulpet å balansere utfallet, siden siste spiller ofte vil ha flere brikker på brettet enn nest siste spiller. Men så viser det seg å være slik at, dersom ingen andre hensyn blir tatt, så kan førstespiller alltid spille slik at de er garantert å være nest sist, mens andrespiller kan alltid spille slik at de er garantert å være sist! Dermed får vi her en slags second-player advantage som kan hjelpe å utbalansere en first-player advantage som ellers følger ved at første spiller har muligheten til å legge én mer brikke på brettet. Her er argumentet for at andre spiller kan alltid sørge for å være sist (argumentet for at første spiller kan sørge for å være nest sist følger i samme linjene): Dersom det er din tur og det er ... - 1 rute igjen: Du er sist - 2 ruter igjen: Du kan velge å være sist. - 3 ruter igjen: Motstander kan velge å være sist, siden du sender dem til enten 2 eller 1. - 4 ruter igjen: Send motstander til 3; da vil du enten være, eller bli gitt valget til å være, sist. - 5 ruter igjen: Send motstander til 3. - 6 ruter igjen: Motstander kan velge å være sist, siden du må sende dem til enten 5 eller 4. - 7 ruter igjen: Send motstander til 6. - 8 ruter igjen: Send motstander til 6. - 9 ruter igjen: Motstander kan velge å være sist, siden du må sende dem til enten 8 eller 7. Førstespiller starter med 9 ruter igjen, QED. (Vurderte tidligere en variant hvor spiller $1$ *alltid* vil måle i $\{\upket, \downket\}$-basen, mens spiller $2$ *alltid* vil måle i $\{\plusket, \minusket\}$-basen, gitt at spilleren kommer sist. Kan hende det ville ledet til interessante strategier, gitt at hver spiller ønsker helt forskjellige brettkonfigurasjoner *og* ønsker anledningen til å anvende sin egen base (alternativt tvinge motstanderen til å måle med sin base) ... men etter å ha testet så føler jeg nå at det er for begrensende, siden andrespiller vil bare konstant reagere med å entangle med førstespillers brikker, mens førstespiller ikke kan reagere på annen måte enn å legge ut flere brikker på tomme ruter og håpe på det beste.) ### Gjennomføring av måling Når vi har "half-entanglement"-situasjoner er det ikke helt klart a priori hvordan å tolke brettet. Vi ønsker å unngå qutrit-fortolkningen (spesielt siden det ville implisert at også *tomme* ruter var i en uniform superposisjon av tom, X og O i Hadamardbasen), og holder oss til qubits (i form av f.eks. spinn-opp/spinn-ned elektroner) spredt over et diskretisert rom. Hovedinnsikten er da at vi har to forskjellige typer superposisjon her, nemlig i rom og i spinn, og at de må behandles hver for seg. Den "diagonale" basen til rom er momentum, men vi snakker her om partikler i ro i et konkret punkt i rommet (*kan* vi vite at et kvantepartikkel både er et konkret sted og er i ro?), så det gir lite mening å skifte basen i denne delen av målingen. Det man gjør i stedet for, er å *først* avgjøre hvor i rommet partiklene er, ved å identifisere alle de tomme rutene (slik at alle de resterende rutene har 0% sannsynlighet for å være tomme), og *deretter* måler i Hadamardbasen. Litt ekstra gøy å la spilleren som ble sist velge hvilken base de vil måle i *etter* at posisjonsmålingen er gjennomført. ### Playtesting Inntrykk etter første gjennomspilling ([[12024-10-30]]): - Interessant at dersom spiller 2 skal være garantert å få bestemme målingen, og spiller 1 starter med en klassisk brikke i midten, så har den ikke noe annet valg enn å spille masse superposisjonsmoves—og vil dermed slite med å lage $\minusket$ states. Og likevel endte $O$ opp med å vinne en suveren seier til slutt, takket være at mange av de klassiske brikkene ble flippet i dens favør! - Gøy at å vente med å bestemme basen til etter at posisjoner er bestemt lar deg ta et strategisk valg basert på utfallene. - Spilte med "Ingen klassiske brikker"-varianten nå (se under), da vi ikke hadde noen seier etter første runde. Det ga så mye mening nå at jeg tror ikke det kan være på noen annen måte. Det er jo tross alt bare gøy om $X$ da hadde klart å legge siste brikke i neste runde, og måle i standardbasen, hvor vi plutselig har at *all bets are off!* Inntrykk etter playtesting med Sigurd og Trygve [[12024-11-01]] (hvor vi også testet med både basisskifte og fasekansellering): - Brikker med piler fungerte bedre enn forventet, takket være at én side var tusjet med svart ring: Dette var i utgangspunktet ment å stå for en minusfase (i [[Groverkabal]]) men tillot oss å gi en tydeligere visuell indikator på hvilken brikke som tilhørte hvilken spiller, uten å ofre tolkningen av "pil-opp" vs "pil-ned" vs "pil-høyre/venstre". - Det gir mening å forby minusfaser av kansellerende brikker. Man kan lett si at det "bare er en regel" i første omgang, og så forklare senere hvorfor det er et trekk som aldri ville vært fordelaktig. - Måling i Hadamardbase etter et halvt kansellerende trekk er tricky. Hvis man følger regelen at de tomme rutene skal bestemmes først, vil man aldri få $\plusket$ eller $\minusket$ i den gjenverende ruten (dvs, man får 50/50 i en Hadamardmåling); ville vært veldig kjekt med en fortolkning som i hvert fall tillot høyere enn 50% sanns. for dette. Men da må jeg gruble litt mer ... lar det seg gjøre? ![[IMG_9093.jpeg|400]] Kunne resolvet den tomme ruten nede til høyre først da ... selv om jeg ikke er 100% sikker på at det gir matematisk mening. Men kanskje det er ekvivalent? Nei ... Hvis man måler i comp. basis er det jo da 25% sjangse for at oppe til venstre blir motstanderens brikke, og 75% for at den er tom. Man mister renormaliseringen til tredjedeler. Kanskje fordelaktig? Ok, la oss tenke comp. basis. Hvis man... - Kansellerer først og renormaliserer: - 1/3 X oppe til venstre, 2/3 tom - 2/3 O i midten, 1/3 X - 50% X nede til høyre, ellers tom - Resolve nede til høyre første, ingen renormalisering: - 50% X nede til høyre, og da: - 50% O i midten, ellers tom = 25% hver - 50% X oppe til venstre, ellers tom = 25% hver - 50% tom nede til høyre, og da: - 50% O i midten, ellers X - 100% tom oppe til venstre - Totalt: - Oppe til venstre: 75% tom, 25% X - Midten: 50% O, 25% X, 25% tom - Nede til venstre: 50% O, 50% tom Er jo kanskje nærmere det man intuitivt ville forventet? Fordel: Lar oss bruke baseskifte i midten. Ulempe: Lar oss ikke introdusere renormalisering. (Men det er kanskje ikke en dypt essensiell effekt å snakke om uansett.) Spørsmål: Hvordan fortolkes dette som elektroner? Er jo det som gjør det litt rart ... "hvis den ikke er nede til høyre, så kanselleres fasen oppe til venstre". Blir jo egentlig litt feil, blir det ikke? (Use the maths, Luke!) ### Variant: Ingen klassiske brikker En naturlig variant her er den hvor, dersom ingen vinner blir avgjort, spillet fortsetter *med brikkene i basistilstanden de ble observert i*, (altså at de ikke kollapser til klassiske tilstander). Etter en Hadamardbasismåling vil dermed *alle* brikkene være i en eller annen superposisjon—i hvilket tilfelle de ikke kan "røres", som med klassiske brikker, men kan likevel lede til et annet utfall dersom de måles i en annen base! Men hva er de ekstra brikkene som skal legges på etter at en firerterning har blitt målt i Hadamardbasen? Bare en vilkårlig ubrukt farge? Eller den *samme* fargen? (Sistnevnte gir vel mer mening, og vil alltid være tilgjengelig, selv om det ser ut som at den bryter "no self-entanglement"-regelen.)