Utgitt i magasinet Mensa Nytt, av alle ting, nr. 2, 12 018 ([[12018-04-06]]). Skrevet vinteren [[Date format|12 017/12 018]]. [[Reflections on Relativity In and Around Strong Gravitational Fields|English translation]] ### Refleksjoner om relativitet[^1] i og rundt sterke gravitasjonsfelt #### Sammendrag Vi[^2] diskuterer perspektivene til observatører i forskjellige inertialsystemer i og rundt sterke gravitasjonsfelt. Som et eksempel undersøker vi i detalj situasjonen når én av to observatører er i ferd med å falle inn i et svart hull. #### 1 – Einsteins generelle relativitetsteori I 1905 var situasjonen som følger: Newtons gravitasjonslov — en av tidenes mest vellykkede beskrivelser av naturen, en enkel likning, $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\, , \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (1)$ i stand til å beskrive med stor nøyaktighet alt fra solsystemet, til forholdet mellom månen og flo/fjære (en til da observert men uforklart sammenheng), til *hvorfor ting faller til bakken* — stemte ikke overens med Einsteins nylig lanserte relativitetsteori. Problemet lå i at Einsteins relativitetsteori krevde at ingen to objekter kunne påvirke hverandre med umiddelbar virkning: tiden fra handling til reaksjon måtte[^3] være minimum lik distansen mellom objektene delt på lyshastigheten[^4]. I Newtons teori ga endringer i gravitasjonsfeltet umiddelbar effekt. Den tok ham ti år å finne, men løsningen på problemet, publisert av Einstein selv i 1915, skulle vise seg å være både elegant og dyp. Dog den raskt gjorde seg et rykte for å være både uintuitiv og matematisk krevende[^5], er den sentrale likningen[^6] i *den generelle relativitetsteorien* enkel nok å skrive ned: $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad R^{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg^{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}\, . \qquad\qquad\qquad\qquad (2)$ Essensen i uttrykket, og essensen av generell relativitet, ligger i en nytolkning av tid og rom: de var ikke lenger konstante, uendrende, evige, slik de hadde blitt behandlet siden filosofenes dager[^7], men *bøyelige, tøyelige*, i konstant endring, som et utstrekt laken dekket av klinkekuler; som en innsjø i frisk bris. Slike kameler opplevde mange ble for store å svelge, så teorien ble (så klart) møtt med enorm skepsis av den etablerte garde[^8] — ironisk nok først og fremst av nettopp filosofene[^10], som trodde de var kvalifiserte til å uttale seg om saken. Så det tok ti år å finne den korrekte likningen (2). Hadde du spurt Einstein i 1915, ville han svart at det godt kunne komme til å ta ti nye år før noen fant en ikke-triviell løsning[^11] på likningen. Det tok én måned. #### 2 – Schwarzschilds løsning Karl Schwarzschilds[^12] historie er en tragedie grekerne verdig: et ukjent geni som i løpet av bare noen uker — mens han tjenestegjør på fronten i Russland under første verdenskrig — løser det som raskt kunne blitt tiårets matematiske gåte; oppdageren av en likning med større og merkeligere konsekvenser enn noen den gang ante — enn noen *kunne* ane; en fysiker på randen av internasjonal anerkjennelse, sentral i utviklingen av den største vitenskapelige revolusjonen siden Isaac Newton. I et brev datert 22. desember 1915 presenterer han løsningen for Einstein: $\qquad\qquad\quad ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\, . \qquad (3)$ Einstein: «Jeg har med stor entusiasme lest artikkelen du sendte. Jeg hadde ikke forventet at en kunne formulere den eksakte løsningen på problemet så enkelt. Jeg skal presentere resultatene dine for akademiet[^13], med min egen forklaring, førstkommende torsdag.» Fem måneder senere var han død, offer for en sjelden autoimmun hudsykdom han tok med seg fra fronten. Han var 42 år gammel.[^14] Likningen beskriver hvordan gravitasjonen fra en planet eller stjerne eller et hvilket som helst statisk objekt påvirker et annet objekt, for eksempel en person[^15] som observert av en *annen* person *utenfra*. Hun faller; han ser henne falle[^16] ... og fallet hennes er beskrevet av (3). Se på den likningen én gang til. På barneskolen lærte vi at «å dele på null er tull», men i et scenario hvor avstanden til senteret av det graviterende objektet, $r$, er lik den såkalte *Schwarzschild-radiusen*, $r_s$, er det nettopp det vi gjør: vi deler på null. Prøv å se det selv. Det skjer i andre ledd til høyre for likhetstegnet. Innad i fagfeltet kalles dette en *singularitet*. Formelen gir ikke lenger fysisk mening i et slikt scenario. På Einstein og Eddington og Silberstein og Scwarzschilds tid ble det simpelthen antatt at et slikt scenario aldri kunne oppstå. I så godt som alle tilfeller befinner Schwarzschild-radiusen seg nemlig *inni* det graviterende objektet, og der inne er formelen uansett ugyldig. Der inne må man bruke andre løsninger av (2)[^17], og disse løsningene besitter ingen singulariteter. For at Schwarzschild-radiusen skulle vært *utenfor* objektet, måtte objektet hatt en *enorm* massetetthet[^18], og det ble simpelthen antatt at en så høy tetthet var fysisk umulig. I dag vet vi bedre. I dag vet vi at det ikke bare *eksisterer* slike objekter, men at de er *mangfoldige*. I dag vet vi at slike objekter er helt sentral for universets utvikling fra The Big Bang til i dag. I dag vet vi at så godt som alle galakser, inkludert vår egen, kretser rundt et slikt objekt. Vi kjenner i dag disse objektene som *svarte hull*. #### 3 – Jeg kretser rundt et svart hull, og jeg ser henne falle. Ingenting, ikke engang lys, slipper noensinne ut av et svart hull. Når det først har passert Schwarzschild-radiusen, den såkalte *hendelseshorisonten*, er det ingen vei tilbake. Det er en enda en singularitet i Schwarzschilds løsning; enda et tilfelle hvor vi må dele på null: når $r = 0$. Det vil si, i det svarte hullets senter. Der sitter det et uendelig lite punkt, med uendelig høy tetthet, og med *hele massen til det svarte hullet*.[^19] Alt som noensinne har falt inn i det svarte hullet har havnet her, og for hver sol det sluker, for hver planet det forderver, for hvert eneste objekt, stort eller lite[^20], blir det tyngre — men det forblir et punkt. Det er ingen vei utenom, og det er ingen vei tilbake. Jeg ser henne falle. Hun faller, ned mot hendelseshorisonten, ned mot Schwarzschild-radiusen, nærmere og nærmere og raskere og raskere. Jeg ser henne se opp mot meg, men i blikket hennes ser jeg ingenting, det er et tomt blikk. Et lite øyeblikk tenker jeg at hun *vil* dette, at hun ønsker det velkommen, hendelseshorisonten, Schwarzschild-radiusen, singulariteten, det uendelige lille punktet nedenfor som veier mer enn hundre trilliarder ganger så mye som henne; et lite øyeblikk ser det ut som om hun *lengter* etter å bli en del av det, komprimert til et punkt mindre enn noen av atomene hun består av; men nei, ingen ønsker en sånn skjebne.[^21] Så ser jeg henne ... sakke ned. Først gir det ikke mening: gravitasjonskraften *akselerer* objekter. Alltid. Og her ute finnes ingen motstand, ingenting som kan sakke henne ned. Hvorfor sakker hun ned? Men så husker jeg det: singulariteten. Ved hendelseshorisonten deler vi på null. Og det er tull. Hendelseshorisonten kan ikke nås, og den kan ikke krysses, for da ville vi delt på null og det er tull. Så hun sakker ned, saktere og saktere, blikket vendt mot meg, tomt, ubevegende, helt til hun ser ut til å stå helt i ro. Fargene hennes begynner å skifte, skifte mot det røde. Gravitasjonskraften er sterk der nede, og lyset sliter med å nå meg, og da skifter det mot det røde. Snart kommer hun til å bli usynlig, lyset strukket dypere og dypere inn i det infrarøde, til bare radiobølger gjenstår ... men hun kommer fortsatt til å *være* der, fryst på overflaten, ved *hendelseshorisonten*. Den kan ikke nås, og den kan ikke krysses. Jeg ser henne enda. Kanskje det ikke er for sent. Kanskje, hvis jeg er rask, kanskje jeg kan nå henne. Hvis jeg snur, hopper etter, rekker ut armen, strekker ut fingrene, kanskje jeg kan nå henne. Kanskje det ikke er for sent. #### 4 – Jeg faller inn i et svart hull, og jeg ser ham strekke ut armen etter meg. Jeg tror jeg faller, raskere og raskere, for han blir mindre og mindre, men det *føles* ikke som om jeg faller. Det ser ut som at det er *han* som faller, som at alt annet *enn* jeg faller ... men jeg vet bedre. Jeg faller inn i et svart hull, og jeg faller raskere og raskere. Jeg ser fremfor meg. Stjernene beveger seg i unaturlige mønstre, som ildfluer som kretser rundt en brønn, men jeg vet bedre. Lys blir påvirket av sterke gravitasjonsfelt, blir bøyd rundt det svarte hullet, og lyset som når meg nå vil bli sterkere påvirket jo dypere jeg faller. Et forvrengt bilde av virkeligheten ... men det er ikke *virkelig*. Brønnen blir større. Mørket er merkelig vakkert. Aldri har noen sett et dypere svart. Det brer seg om meg nå, omfavner meg, som om det har ventet på meg, tålmodig, som en mor som omfavner sitt barn. Fra singularitet er du kommet. Til singularitet skal du bli. Stjernene forsvinner. Jeg følger kanten av mørket med blikket idet det brer seg om meg, ser det stenge ute resten av universet, til det eneste som gjenstår er han. Han er fjern nå, som en miniatyr innrammet av hele universet, en skinnende ramme på en svart vegg. Det ser ut som om han strekker seg mot meg. Som om han har tenkt å hoppe etter — et lite øyeblikk tenker jeg at han skal til å hoppe etter — men jeg vet bedre, *han* vet bedre, han vet at det er for sent. Han ville aldri ofret seg selv for noe han visste var håpløst.[^22] Han forsvinner, og jeg blir omfavnet av mørket. Alt er svart. Ikke noe lys kan nå meg lenger. Jeg faller; jeg *vet* at jeg faller, inn mot singulariteten, inn mot uendelig tetthet, inn mot dette siste lille endestoppet ... men det føles ikke slik. Det føles som om jeg står i ro, som om jeg svever i ro i et uendelig mørke. Er dette innsiden? Er jeg inni det svarte hullet? Jeg antar det. Og det er ingen vei ut. Det er ingen vei ut. #### 5 – Tid og samtidighet og en teori om relativitet Jeg faller, ned, ned mot henne. Løsnet sikringen og trådde av fartøyet. Ømfintlig navigerte meg ved hjelp av hydrauliske væskeutstøtninger, små trykkmotorer festet til romdrakten, ut av stabil bane og inn mot fritt fall. Jeg ser henne enda; hun ser rød og unaturlig ut, og snart blir hun usynlig, men hun kommer fortsatt til å *være* der, frosset i tid på hendelseshorisonten. ... Eller? Jeg faller ned mot henne, men nå som jeg faller kunne jeg sverge at hun ikke står i ro lenger; at hun ikke lenger er frosset i tid. Hva er dette? Hva skjedde med singulariteten? Hendelseshorisonten skal ikke kunne krysses, i hvert fall ikke fra mitt persp— Jeg endret perspektiv. Hvordan kan jeg ha vært så dum? Jeg endret perspektiv når jeg gikk ut av stabil bane. Forventet jeg virkelig at hun fortsatt skulle være der, frosset i tid nede ved hendelseshorisonten, og at det bare var for meg å dra ned og plukke henne opp? Nå faller jeg også, fritt, dypere og dypere inn i gravitasjonsfeltet, akkurat som henne, og for meg, akkurat som for henne, er tidrommet jeg faller gjennom beskrevet av en helt annen likning: $\qquad\qquad\qquad\quad ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\, . \qquad\qquad\quad (4)$ Likningen for flatt tidrom. Gode gamle spesielle relativitetsteorien fra 1905, han fant denne når han var 26, jeg er 26; ingen singulariteter i denne likningen, ingen steder man kan dele på null. Hvordan kunne jeg være så dum. Hun faller fortere og fortere, inn i en mørk avgrunn. Det er lenge siden hun falt[^23], og jeg har bare stått her og latt det skje, for handlingslammet til å gjøre noe. Men det vil bare ha gått noen sekunder for henne. Tid er relativt. Samtidighet også. Betinget gyldighet; forholdsmessighet. Hun er enda i live. Hun er enda i live — og hun forsvinner. Lyset når meg ikke lenger, kan ikke motstå gravitasjonskraften lenger, og hun forsvinner. Det er for sent. Ingenting, ikke engang lys, ikke engang et atom, ikke så mye som ett foton, kan noensinne slippe ut av et svart hull. Når noe har passert hendelseshorisonten, er det for sent. Det er for sent for henne ... men ikke for meg. Jeg kan fortsatt snu (tror jeg) — hvor mye hydraulisk væske har romdrakten igjen? Nok (tror jeg; håper jeg). Jeg kan fortsatt snu ... uten henne. Uten Viktoria. Jeg bestemmer meg. Trykker inn avtrekkerne. Motorene aktiveres — jeg kjenner ristingen gjennom drakten, hører duringen gjennom kroppen, og jeg kjenner jeg akselererer. Det kjennes ut som tyngdekraft. Jeg smiler av ironien. Lukker øynene og ser for meg at jeg ligger på bakken, på en grønn eng, med sol over meg og fuglekvitter rundt meg og vind ruskende i håret. #### 6 – Det er ingen vei ut. Hun ligger i sengen. Våken. Øynene åpne, stirrer i taket. Hun reagerer ikke når jeg sier navnet hennes. Det har vært sånn i en uke nå. Jeg vet at hun hører meg, og hun spiser maten jeg lager til henne, og hun drikker vannet jeg tar med til henne, men hun reagerer ikke når jeg snakker til henne. Fem dager siden sist hun så meg i øynene; syv dager siden sist jeg hørte stemmen hennes; ti dager siden sist hun kysset meg. Slike perioder kommer og slike perioder går og slike perioder kommer tilbake igjen — men denne gangen virker det annerledes. Det er som om hun er frosset i tid. Det er som om hun faller inn i et svart hull. Og jeg svever utenfor, ser det skje, ser henne frosse i tid på hendelseshorisonten, ser fargene skifte til jeg knapt kjenner henne igjen, handlingslammet, ute av stand til å gjøre noe. Helt til jeg gjorde noe. Slikt mørke er meg ikke ukjent. Jeg har kretset rundt svarte hull før. Jeg vet hvordan det er å gå under jorden i dagesvis, bare for å komme ut og lure på hvor alle dagene ble av ... men som vi har lært: tiden stopper opp i og rundt sterke gravitasjonsfelt. Jeg la meg ned ved siden av henne. Sa ikke noe, kom ikke med mat eller vann og prøvde ikke å få henne til å spise mer, hun må huske å spise, hun ser så tynn ut; prøvde ikke å opprette kontakt, sa ikke navnet hennes, sa ikke hei hvordan går det. Jeg la meg ned ved siden av henne, på ryggen, som henne, og stirret i taket, som henne. Så kom tårene. Jeg visste ikke at det kom til å skje, men jeg burde kanskje ha skjønt det. Det begynte som en klump i halsen, en smertefull svulst som ikke lot seg svelge. Den ble større, og sterkere, og å holde den tilbake ga meg tårer i øynene; den kvalte meg, jeg fikk ikke puste, den fortsatte å vokse, jeg kunne ikke holde den tilbake lenger. Jeg hikstet. Holdt pusten. Prøvde å igjen svelge svulsten, dette store hovne eplet som på ett eller annet vis hadde grodd frem der. Feilet. Hikstet igjen. Og igjen. Snart rant tårene fritt. Jeg gråt som jeg ikke har gjort på åresvis, og det føltes ... godt. Riktig. Fortjent. Det var da hun snudde seg mot meg. Så meg i øynene, for første gang på fem dager, med øyne fylt til randen av tårer. Hun så meg dypt i øynene, dypt i sjelen, og for første gang på ti dager så jeg *henne*. Viktoria. Hun er fortsatt her. Hun er fortsatt i live. Hun har kanskje krysset hendelseshorisonten, vi har kanskje krysset hendelseshorisonten, og det er kanskje ingen vei ut, men vi er fortsatt her. Sammen. I live. Hun la armen sin over brystkassen min; la hodet sitt på skulderen min; lukket øynene; gråt. Vi gråt. Vi holdt hverandre, og vi gråt. #### 7 – Veien ut Et lys. Langt der borte, dypt inne i det tetteste mørke. Det er utydelig, svømmende, som om jeg ser gjennom vann; det må være gravitasjonens påvirkning på lyset. Den er sterk nå, gravitasjonen — sterk nok til at jeg har begynt å føle den på kroppen, som om noen har tatt tak i føttene mine og drar meg nedover. Svimete. Hjertet har vanskelig med å stå imot kreftene; blodet trekkes også nedover, blodtrykket i hodet synker. Jeg kjenner meg svimete. Jeg vet ikke hvor mye lenger jeg klarer å holde på bevisstheten. Men jeg ser et lys. Langt der borte, dypt inne i det tetteste mørke. Kan det være...? Lyset kommer nærmere, og jeg ser ham, det *er* ham. Ansiktet hans, opplyst av hjelmen, svømmer foran øynene mine — jeg vet ikke lenger om det er blodmangel eller optisk spill fra gravitasjonen. Bryr meg ikke. Han navigerer seg ned til meg, slår av motorene, faller, vi faller, side om side. Hånden hans er utstrakt. Jeg prøver å løfte min, men det er vanskelig. Jeg kjenner bevisstheten svinne hen. Prøver igjen. Musklene kjennes fremmede, som om det er en annens arm jeg løfter, men det går, jeg ser den bevege seg. Opp. Ut. Når hånden hans. Griper. Han trekker meg til seg. Holder rundt meg. Jeg ser ham tydeligere nå. Han gråter. Smiler. «Det kommer til å gå bra,» sier han. Stemmen er skurrete over radioen, ordene vanskelig å skjelne. Jeg tror ham ikke. ... Men det er godt å høre stemmen hans. Det er så godt å høre stemmen hans. Det er så *uendelig* godt å høre stemmen hans. Jeg kjenner tårene komme. Orker ikke å holde dem tilbake. Det er kanskje på tide. Det er kanskje riktig. «Det kommer til å gå bra,» sier han igjen. «Jeg har funnet en vei ut.» Jeg åpner øynene. Ser spørrende i hans, gjennom svømmende tårer, så spørrende som jeg klarer. «Jeg har lest om en teori ... noen mener at i senteret av noen svarte hull, så er det ikke noen singularitet, ingen uendelig tetthet, ikke noe uendelig lite punkt.» Han høres anpusten ut, som om han må anstrenge seg for å presse ordene ut. «Noen mener at i senteret av noen svarte hull er en ... en slags ... *portal*. At de bare er portaler, til et annet sted ... kanskje til og med til en annen tid. Svart hull i én ende ... *hvitt* hull i den andre.» «Hvordan,» begynner jeg. Det er vanskelig å presse ordene frem, som om selv luften veier mer nå. Stemmen min høres rar ut, den høres fremmed ut, en annens. Jeg kjenner den ikke igjen. «Hvordan vet du ... at *denne* ... er en portal?» «Det vet jeg ikke,» svarer han, stemmen hans så vidt hørbar nå. Han smiler igjen. «Men jeg velger å tro det.» «Det kommer til å gå bra,» sier han, og holder meg fast. Han gråter. Vi holder hverandre, vi faller, og vi gråter. «Det kommer til å gå bra. Bare vent og se.» [^1]: Fra språkrådets ordbøker: relativitet (m): det å være relativ; betinget gyldighet; forholdsmessighet. [^2]: Jeg. Det er bare meg her. [^3]: (må) [^4]: $c = 299 792 458$ m/s [^5]: Se *e.g.* denne underholdende utvekslingen som angivelig skal ha funnet sted mellom en Ludwik Silberstein og Sir Arthur Eddington, sistnevnte en av de viktigste figurene i relativitetsteoriens historie, under et foredrag noen år etter teoriens lansering: Silberstein: «Professor Eddington, du må da være én av de tre eneste personene i verden som virkelig forstår generell relativitet!» Eddington: (nøler). Silberstein: «Ingen grunn for beskjedenhet, Eddington.» Eddington: «Tvert imot: jeg prøver bare å komme på hvem den tredje kan være.» [^6]: Eller rettere sagt *likningene* — $μ$ og $ν$ er i den følgende likningen fire-dimensjonale vektorindekser, noe som betyr at vi i realiteten her har ikke bare *én* likning, men *seksten*, alle avhengige av hverandres løsninger. [^7]: (de *greske* filosofene, altså) [^8]: Det er verdt å ha i mente at Einstein var bare 36 år i 1915, dog allerede høyt anerkjent blant mange fysikere — hans store gjennombrudd kom med lanseringen av den *spesielle* relativitetsteorien, ti år tidligere. Han var da 26.[^9] [^9]: (Jeg er 26.) [^10]: (ikke nødvendigvis greske) [^11]: hvor den *trivielle* løsningen er tilfellet med null gravitasjon. Teorien reduseres da til den gode gamle spesielle relativitetsteorien fra 1905. [^12]: Svart *skjold*, ikke svart barn. [^13]: *Königlich-Preußische Akademie der Wissenschaften* — det prøyssiske vitenskapsakademi. [^14]: Jeg undres om ikke Schwarzschild var den tredje personen Silberstein tenkte på. Eddington ville så klart vært svært godt kjent både med Schwarzschilds arbeid og hans utidige død. [^15]: (for eksempel Viktoria) [^16]: (jeg ser henne falle) [^17]: (hvorav den første og enkleste *også* ble oppdaget av Schwarzschild i 1915) [^18]: Hvis du lurer, så er Schwarzschild-radiusen gitt ved $r_s = \frac{2MG}{c^2}$, hvor $M$ er objektets masse, $G$ er Newtons gravitasjonskonstant, og $c$ er lyshastigheten. Siden $G$ og $c$ er konstanter, betyr det at Schwarzschild- radiusen er gitt ved objektets samlede masse alene. Jordens Schwarzschild-radius er ni millimeter. [^19]: Denne massen er sjeldent uvesentlig: vårt eget svarte hull i Melkeveiens senter er mer enn fire millioner ganger tyngre enn solen, som er mer enn tre hundre tusen ganger tyngre enn jorden, som er mer enn seksti trilliarder ganger tyngre enn meg; mer enn hundre trilliarder ganger tyngre enn *henne*. [^20]: eller 173 cm høyt og 60 kg tungt [^21]: Gjør de? [^22]: Ville han? [^23]: (ti dager)