Vanlig bondesjakk fungerer med at den første spilleren begynner med å legge ut en $X$ på et brett med $3 \times 3$ ruter, og så legger den andre spilleren ut en $O$, og så legger den første spilleren ut en $X$ igjen, og slik fortsetter spillet frem til enten én av spillerne har fått tre på rad, og dermed vinner, eller til alle rutene er fylte og det blir uavgjort. Den klassiske bondesjakken er populær blant barn, men blir for de fleste uinteressant når man innser at det eksisterer en enkel optimal strategi: Dersom begge spillerne spiller optimalt, ved å konstant blokkere hverandres vinnersjangser, så er man *garantert* at spillet vil ende i uavgjort. Man sier at spillet er "løst": Det eksisterer en optimal strategi, en algoritme om du vil, og hvis begge spillerne følger denne, så er utfallet avgjort før spillet i det hele tatt har begynt. Men ved å introdusere litt *kvantefysikk* til bondesjakken, så blir den plutselig langt mer interessant igjen! Men frykt ikke: Du trenger ikke å forstå noe om kvantefysikk for å forstå kvantebondesjakk—erfaringsmessig er spillereglene faktisk ganske enkle å lære! Men det å finne en god *strategi* for å utkonkurrere motstanderen din, derimot, viser seg å være ganske utfordrende—selv for de av oss som både forstår kvantefysikk, og som har spilt dette spillet en stund. ### 1. Regler #### 1.1 Oppsett Hver spiller blir gitt en rekke terninger i forskjellige farger: Spiller én ($X$) får fem farger, og spiller to ($O$) får fire farger, slik at det er ni farger tilsammen, like mange som antall ruter på brettet. ![[IMG_8650.jpeg|400]] #### 1.2 Å gjøre et trekk For hver tur skal du: - Legge ut én eller to terninger av en farge som ikke har blitt brukt enda. - Hvis du legger ut én terning, må du legge den i en tom rute med tallet 4 opp. - Hvis du legger ut to terninger (av den samme fargen), må minst én av rutene være tomme. Den andre ruten kan enten være tom, eller den kan inneholde en av motstanderens terninger. - *Du kan ikke legge en terning i en rute som allerede huser én av dine egne terninger.* La oss ta de forskjellige mulighetene steg for steg. ##### Klassisk trekk Hvis den første spilleren legger ut én terning i en tom rute, må de legge terningen med tallet fire opp. Dette symboliserer at "hele" fargen er i denne ruten; eller med andre ord, at det er $4/4 = 100\%$ sannsynlighet for at denne terningen blir til en $X$ i denne ruten når vi kommer til slutten av spillet. ![[IMG_8652 1.jpeg|400]] ##### Superposisjonstrekk Alternativt kan spilleren velge å legge ut to terninger *av den samme fargen*. Da må spilleren legge terningene med tallene $2$ opp. Dette representerer at "halvparten" av fargen er i hver rute, eller med andre ord at det er $2/4 = 50\%$ sjangse for at $X$ havner i den éne eller andre ruten til slutt. ![[IMG_8653 1.jpeg|400]] Merk at rutene ikke trenger å være inntil hverandre. ![[IMG_8654 1.jpeg|400]] For hver tur kan man altså legge ned enten én terning eller to terninger av en farge. Man kan *ikke* legge ned mer enn to terninger på én gang, og man kan heller ikke legge ned en farge som allerede har blitt brukt. ##### Sammenfiltrende trekk Dersom den første spilleren allerede har lagt ned en enslig terning, kan motstanderen "innvadere" denne ruten med å legge ut to terninger, hvor én av terningene er i motstanderens rute og den andre er i en tom rute. Som før vil terningene plasseres med tallet $2$ opp. ![[IMG_8655 2.jpeg|400]] Men hvis vi tolker terningene som sannsynligheter, slik vi gjorde over, så ser vi at det nå står at det er hundre prosent sannsynlighet for at vi får en $X$ i den midterste ruten *og* femti prosent sannsynlighet for at vi får $O$ i den midterste ruten. Det kan ikke være mer enn ett symbol per rute, så dette går ikke an. Spillet løser dette "automatisk" ved at når spiller 2 gjør dette trekket, så "drar" de samtidig med seg halvparten av motstanderens sannsynlighet over i den nye ruten, slik at resultatet blir som følger. ![[IMG_8656 1.jpeg|400]] Nok en gang trenger ikke rutene å være inntil hverandre for at dette skal skje. ![[IMG_8666.jpeg|400]] ##### Halvt-sammenfiltrende trekk Dersom spiller 1 begynte med å legge ut to terninger, ![[IMG_8659 1.jpeg|400]] så kan spiller 2 igjen "innvadere" én av rutene. ![[IMG_8660 1.jpeg|400]] Akkurat som før, så "drar" den da med seg halvparten av motstanderens sannsynlighet inn i den tidligere tomme ruten. ![[IMG_8661 1.jpeg|400]] Legg merke til at nå er de blå terningene plassert med tallet $1$ opp, som symboliserer at denne fargen har blitt halvvert nok en gang, til en fjerdedel. Det vil si at sannsynligheten for at $X$ havner i den nederste ruten er $1/4$, eller $25\%$. Dersom spiller 2 ønsker, kan de ved en senere anledning bruke trekket sitt til å innvadere den andre halvdelen også. ![[IMG_8662 1.jpeg|400]] Igjen så blir motstanderens farge "dratt med" inn i den tomme ruten. ![[IMG_8665 1.jpeg|400]] Nå er den blå fargen maksimalt spredt, og det er like stor sannsynlighet for at $X$-en som spiller 1 først la ned, ender opp i hvilken som helst av de fire rutene. ##### Hvorfor så mange terninger? Nå ser dere hvorfor vi trengte fire av hver farge: Hver farge kan i ytterste grad splittes i fire gjennom trekkene beskrevet over. Og grunnen til at vi trenger ni farger er like enkel: Hvis alle legger én terning ned i en tom rute på sin tur, vil brettet være fullt etter ni turer—og man har da ganske enkelt spilt helt vanlig bondesjakk! Ser du hvorfor vi ikke kan splitte en farge i mer enn fire, for eksempel i åttendedeler? Nemlig: Dette følger fra regelen som ble nevnt helt i starten: *Du kan ikke legge en terning i en rute som huser én av dine egne terninger!* #### 1.3 Spillet slutter Når brettet er fullt, det vil si ingen tomme ruter igjen, så avgjør vi hvor terningene havner, og ser om vi har fått en vinner. Dette gjøres via—du gjettet det—terningkast! Si vi endte opp med det følgende brettet. Her har spiller 1 ($X$) fargene grønn, lyseblå, mørkeblå og lilla, mens spiller 2 ($O$) har fargene oransje, gul og grå. ![[IMG_8681.jpeg|400]] Det er ingen tomme ruter igjen, og siden reglene sier at hvert trekk *må* bruke minst én tom rute, så er det ingen lovlige trekk igjen. Da er det tid for å trille! Vi begynner med de enkleste: Ruten nederst til høyre har $100\%$ sjangse for å bli en $X$, og ruten midterst til venstre har $100\%$ sjangse for å bli en $O$. ![[IMG_8668 1.jpeg|400]] (Vi har laget oss noen $X$/$O$-brikker for å gjøre det lettere å spille flere spill på rad, men blyant og viskelær fungerer vel så bra her!) Deretter velger vi en farge og triller den. Merk at det har ikke noe å si hvilken farge man triller først—sannsynligheten for at hver av spillerne vinner er upåvirket av rekkefølgen, og en vinner blir ikke annonsert før alle terningene er trilt! Dette er fordi i dette spillet er det faktisk mulig at *begge* spillerne får tre på rad. Da blir det uavgjort! (Hvis én spiller får *to* tre-på-rader, og den andre spilleren får én, så kan vi enten si at begge spillerne vant, og derfor er dette også uavgjort, eller så kan man si at den første spilleren vant 2-1. Begge reglene leder til gyldige varianter av spillet—men det er lurt å bli enig om hvilken regel man bruker før man spiller!) La oss si at vi velger å trille én av de lilla terningene. De forteller oss at det er $50\%$ sjangse for at $X$-en er nederst til venstre, og $50\%$ sjangse for at den er øverst til høyre. Mens du ruller den lilla terningen i hånden din, si høyt til motstanderen din hvordan resultatet skal tolkes, for eksempel: "Hvis jeg får $1$ eller $2$ på terningen så er $X$-en nederst til venstre, og hvis jeg får $3$ eller $4$ så er den øverst til høyre." (Jeg bruker vanligvis følgende regel: Plukk opp én av de to terningene fra brettet. Dersom jeg triller en $1$ eller $2$, så havner brikken i ruten jeg plukket terningen opp fra, og hvis jeg triller en $3$ eller $4$, så havner terningen i den andre ruten.) Så triller du. La oss si at du triller $2$. Da får vi det følgende brettet. ![[IMG_8669 1.jpeg|400]] La oss trille den mørkeblå terningen som den neste. "Hvis jeg får $1$ eller $2$, så er $X$-en øverst til venstre, og hvis jeg får $3$ eller $4$ så er den øverst i midten!" Du får $3$ på terningen, og vi ender opp med dette brettet. ![[IMG_8670 1.jpeg|400]] Men nå som vi vet at $X$ er oppe i midten, så vet vi også at $O$-en som den oransje terningen representerte *må* være i ruten øverst til venstre—for vi kan jo ikke ha både $X$ og $O$ i samme rute! Så uten å trenge å trille noe, får vi det følgende brettet. ![[IMG_8671 1.jpeg|400]] La spiller $2$ trille den gule terningen nå. "Hvis jeg får $1$ eller $2$ kommer $O$-en i midten, og hvis jeg triller $3$ eller $4$ kommer den nederst!" De triller $1$, og den kommer i midten, ![[IMG_8672 1.jpeg|400]] og dermed vet vi også at den lyseblå $X$-en *ikke* kan være i midten. Det betyr at vi er tilbake til en $50/50$ sjangse for at den er enten nederst i midten eller til høyre i midten. ![[IMG_8673 1.jpeg|400]] La oss nå trille den lyseblå terningen til slutt. "Hvis jeg får $1$ eller $2$ på terningen er $X$-en nederst i midten, og hvis jeg får $3$ eller $4$ så er den til høyre i midten." Spiller 1 håper så klart på $1$ eller $2$—og denne gangen er de heldige! ![[IMG_8674 1.jpeg|400]] Vi har tre $X$ på rad i nederste raden, mens spiller 2 har ingenting. Vi har en vinner! Hva hadde skjedd dersom de hadde trilt $3$ eller $4$? <div style="page-break-after: always;"></div> #### 1.4 Spillet fortsetter! Ved å starte med det samme utgangspunktet som i ste, ![[IMG_8681.jpeg|400]] kunne terningene også falt slik at vi endte opp med det følgende brettet. ![[IMG_8677 1.jpeg|400]] Ingen av spillerne har vunnet, og vi har enda tomme ruter igjen. Spillet fortsetter, med den neste spilleren etter den som la ut den siste terningen! Merk at $X$-ene og $O$-ene som er lagt ut ikke kan "innvaderes" lenger—de er ikke lenger i en kvantetilstand—så spillerne kan kun bruke de tomme rutene. Som vanlig så kan første spiller velge om de vil legge ned terning i én av rutene eller i begge. Men brettet over er et ganske interessant et, for i dette tilfellet finnes det faktisk et trekk som leder til garantert seier, både for spiller $X$ *og* for spiller $O$! Klarer du å se trekket? Riktig: La oss si at $X$ la ned den siste terningen, slik at neste spiller er $O$. Hvis $O$ da legger ned fargen sin i begge rutene, så er det ingen tomme ruter igjen, som betyr at vi må trille igjen. ![[IMG_8678 1.jpeg|400]] Men nå er det slik at *uansett* hva man triller, så vil $O$ få en tre på rad! Med andre ord har $O$ vunnet, og vi trenger ikke engang å trille terningen for å se det. Og ikke bare det: Dersom det hadde vært $X$ sin tur, kunne de gjort akkurat det samme trekket, og også vært garantert seier! Det viser seg at å være først ute etter en runde med terningtrilling er en veldig heldig posisjon å være i. ##### Siste spillers fordel? Moralen er at, dog det ikke ser ut til å være noen førstespillerfordel i spillet, så *er* det en slags sistespillerfordel, i den forstand at hvem enn som finner at det er deres tur med bare to tomme ruter igjen på brettet, kan velge hvorvidt de vil igangsette trilling med én gang (ved å legge en terning i begge rutene), og slik frarøve motstanderen muligheten til å legge en siste brikke på brettet men samtidig la motstanderen være først ute etter trillingen er gjennomført *gitt at ingen vant*, *eller* la motstanderen få den siste ruten, og slik sette seg selv i den heldige posisjonen av å være først ute etter trillinge, igjen *gitt at ingen vant*. Hvilket trekk som er best vil avhenge sterkt av det nøyaktige brettet som er i ferd med å trilles! ### 2. Hva har dette med kvantefysikk å gjøre? Kvantebondesjakk ble, sammen med flere andre kvantespill, utviklet for å la spillerne bygge en *intuisjon* for den uintuitive verdenen av kvantefysikk, gjennom å interagere direkte med de merkelige reglene som partikler som elektroner og atomer følger, og som dermed underligger hele vår eksistens. For å sitere fysikeren [John Preskill](https://arxiv.org/pdf/1801.00862): > Fysikere sier ofte at kvanteverdenen er kontraintuitiv fordi den er så annerledes fra vår opplevelse av verden rundt oss. Dette er sant i dag, men kan det bli annerledes i fremtiden? Kanskje barn som vokste opp med å spille kvantespill vil få en instinktiv forståelse for kvantefenomener som vår generasjon mangler. Her er hvordan noen av de viktigste egenskapene med kvantefysikk er illustrert i spillet. #### 2.1 Superposisjon Når du legger ut to terninger av samme farge, så kan man si det som at du legger ut en brikke som er "to steder på én gang". Dette er kjent som "superposisjon" i kvantefysikken, og er det samme fenomenet som er beskrevet i det berømte tankeeksperimentet "Schrödingers Katt", hvor katten er både død og levende på én gang! ![[Pasted image 20240927183409.png|400]] <div style="page-break-after: always;"></div> #### 2.2 Sammenfiltring Når du "innvaderer" én av motstanderens ruter og "drar" en del av sannsynligheten dens over i en tom rute, så *sammenfiltrer* du brikken din med motstanderens brikke. Med andre ord, så får du sammenkoblede sannsynligheter av typen "hvis $X$ er her, så må $O$ være der!" Vi sier at sannsynlighetene er "korrelerte", og at brikkene er "sammenfiltret". Det som er spesielt med kvanteuniverset vårt, er at når en slik sammenheng først har oppstått mellom to partikler, så forblir de sammenfiltret, uansett hvor langt du separerer de to partiklene fra hverandre. Faktisk er det slik at dersom jeg hadde hatt et kvantepartikkel som var "$X$ eller $Oquot; her, og hadde sendt et kvantepartikkel som var "$O$ eller $Xquot; til motsatt ende av galaksen, og kvantepartikkelet mitt her hadde "kollapset" til å bli til en $X$, så ville partikkelet på motsatt side av galaksen *umiddelbart* blitt til en $O$. Det vil si: Dette er en effekt som ikke følger regelen om at lyshastigheten er den høyeste hastigheten noe kan påvirke noe annet! Dette fikk angivelig Albert Einstein selv til å fortvile, som skal ha kalt sammenfiltring "Spooky action at a distance." Og likevel går matten slik opp at dette *akkurat* ikke leder det ikke til at man kan sende meldinger raskere enn lysets hastighet—som blant annet ville tillatt deg å sende meldinger bakover i tid! Det er akkurat som om universet trengte en effekt som gikk raskere enn lysets hastighet, men valgte reglene slik at denne effekten ikke kan brukes til å *gjøre* noe raskere enn lysets hastighet. ![[Pasted image 20240927190400.png|350]] #### 2.3 Observering Kvantepartikler er sky: For at et kvantepartikkel skal holde seg i en kvantetilstand, kan du ikke *se* på det—eller lytte til det, eller på noen annen måte *observere* det. Faktisk må man i virkelige eksperimenter isolere partikler uhyre vel for at de skal vise noen som helst kvanteeffekter. Dette er grunnen til at det tok oss helt frem til år 1905 før kvantefysiske effekter ble identifisert! Når du observerer et kvantepartikkel, så *kollapser* alt av kvanteeffekter som superposisjon og sammenfiltring, og du ender opp med et såkalt *klassisk* partikkel, altså et partikkel som oppfører seg slik du kunne forventet en klinkekule ville oppført seg—eller i vårt tilfelle, som en $X$ eller $O$ i vanlig bondesjakk! Når vi triller terningene i slutten av spillet, så *observerer* vi hele brettet på én gang ved å kollapse kvantetilstanden til én brikke av gangen—og akkurat som i naturen, så skjer dette gjennom en helt tilfeldig prosess: Terningkast! Dette også var noe Einstein ergret seg over. Han var dypt skeptisk til kollegenes formulering av kvantefysikk, og er kjent for å ha sagt "Gud leker ikke med terninger!" Men i dag vet vi at han tok feil: Enten det fins en Gud bak det hele eller ikke, så *må* det faktisk være terningkast involvert i de dypeste naturlovene som underligger eksistensen vår! ### 3. Om spillet Kvantebondesjakk ble oppfunnet av Evert van Nieuwenburg, en nederlandsk kvantefysiker, da han ble satt til å utvikle en ny AI-motstander til spillet Quantum Chess, det vil si *kvantesjakk*. Men før han bega seg ut på denne monumentale oppgaven, hadde han lyst til å prøve seg på noe enklere først: Og slik ble kvantebondesjakk født! Dere kan spille Evert sin versjon av spillet, som han navnga TiqTaqToe (fra det engelske navnet for bondesjakk, Tic-Tac-Toe, men med "q" for "quantum"), på nettsiden [tiqtaqtoe.com](https://tiqtaqtoe.com). Quantum Chess, på sin side, er tilgjengelig via [Steam](https://store.steampowered.com/app/453870/Quantum_Chess/), og man kan faktisk se opptak fra flere offisielle kvantesjakkturneringer på [YouTube](https://youtu.be/6wTtWLnEnwQ?si=Vpr4aqrx3Zyzia5e). Denne brettspillvarianten av kvantebondesjakk ble utviklet av meg, da jeg falt for spillet etter å ha snublet over nettsiden, men ble frustrert over hvor vanskelig det var å eksperimentere med forskjellige strategier. Jeg klarte heller aldri å overtale noen av vennene mine til å logge på og spille mot meg. En brettspillutgave—liten nok til å kunne ta med seg i lommen attpåtil!—løste begge disse problemene, og jeg har spilt hundrevis av spill mot både venner og fremmede i tiden siden. Og fortsatt har jeg ikke klart å finne en god vinnerstrategi! #### 3.1 Varianter av spillet ##### Med poengopptelling Det har allerede blitt nevnt at dersom man lar hver tre-på-rad som oppstår etter observasjon telle som ett poeng, så får man en variant av spillet hvor begge spillerne kan få tre-på-rad, men én av spillerne kan likevel bli kåret som seiersherre. ##### Kvantebrikker etter observasjon En annen variant av spillet får man dersom man etter observasjon, i stedet for å tegne en $X$ eller en $O$ (eller legger ut $X/O$-brikker), så lar man bare én av terningene av den trilte fargen bli værende i ruten som man fikk at brikken skulle være i, med tallet 4 opp (for 4 fjerdedeler, altså $100\%$). Da, hvis spillet fortsetter, så er disse igjen kvantepartikler som kan sammenfiltres med, for enda flere mulige utfall! ##### Begrensede trekk Man kan også gjøre spillet enklere å lære ved å begrense antall kvantefysiske trekk som er lovlig—for eksempel ved å kun tillate "superposisjon"-trekk dersom *begge* rutene er tomme. I denne versjonen av spillet, som man også kan spille på [tiqtaqtoe.com](https://tiqtaqtoe.com) (velg "Minimal Quantumness"), viser det seg at det *finnes* en optimal strategi! Klarer du å finne den? I motsatt retning kan man også forby *klassiske* trekk, og slik tvinge spillerne til å kun bruke kvantefysiske trekk. I denne brettspillversjonen av spillet er dette så enkelt som å kreve at hver spiller plasserer to terninger per tur. ##### Med fasekansellering Jeg har også utviklet en mer avansert variant av spillet, som inkluderer et kvantefysisk fenomen som ikke er tilstede i den grunnversjonen, nemlig *fasekansellering*. Dette er det samme fenomenet som at når en bølgetopp møter en bølgebunn, så vil de to bølgene *kansellere* hverandre, og vannet vil bli stille. I denne varianten av spillet, får du nå muligheten til å kansellere motstanderens brikker, og dermed "tømme" ruten motstanderen hadde plassert brikken sin i! Dette leder til et lengre spill, siden man nå vil ha flere tomme ruter igjen etter observering, og åpner for nye og spennende strategier for å bekjempe motstanderen. Denne versjonen av spillet er enda i utprøvingsfasen, men hvis du er nysgjerrig på å teste den, så kan du lese om det utvidede regelsettet på [nettsiden min](https://hans.heum.me/TiqTaqToe+with+binary+phases). (PS: Man trenger ikke ekstra brikker eller terninger for å spille den!) ### Skaff deg spillet! Dette spillet finnes ikke i noen masseprodusert utgave (enda!), så hvis man ønsker sitt eget sett må man sette det sammen selv. d4-terninger kan kjøpes på spillbutikker som Outland, men dette kan fort bli dyrt dersom må kjøpe $9 \times 4 = 36$ individuelle terninger, som gjerne koster 25 kroner stykket eller mer! Ved å søke litt på nett, kan man finne billigere alternativer, og flere nettsider selger pakker med mange d4-terninger i forskjellige farger, som da går an å sette sammen til ditt eget sett. Hvis du er i Trondheimsområdet, så kan du eventuelt ta kontakt med meg, da det hender at jeg har et ekstra sett eller to liggende rundt. *(Skrevet av Hans Heum i anledning [Researcher's Night på NTNU](https://www.ntnu.no/forskningsdagene/night), 27. september 2024. For spørsmål om kvantebondesjakk, kan jeg nås på [email protected]. There is also an English translation: [[TiqTaqToe with d4 dice]])*